《基于带跳跃因子的Vasicek模型的实证分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《基于带跳跃因子的Vasicek模型的实证分析（41页珍藏版）》请在维思文库上搜索。
1、中图分类号:学校代码:10055 UDC:密级:公开 硕 士 学 位 论 文硕 士 学 位 论 文 基于带跳跃因子的 Vasicek模型的实证分析 An empirical analysis of Vasicek model with jump factor 论文作者杨汝佳指导教师江一鸣 申请学位理学硕士培养单位数学科学学院 学科专业应用数学研究方向精算学 答辩委员会主席张春生评 阅 人张春生，李静 南开大学研究生院 二一五年三月 南开大学学位论文原创性声明南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所 取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，
2、本学位论文的研究成果不包 含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所 涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：年月日 非公开学位论文标注说明 (本页表中填写内容须打印) 根据南开大学有关规定，非公开学位论文须经指导教师同意、作者本人申 请和相关部门批准方能标注。未经批准的均为公开学位论文，公开学位论文本 说明为空白。 论文题目 申请密级限制(2年)秘密(10 年)机密(20年) 保密期限20年月日至20年月日 审批表编号批准日期20年月日 南开大学学位评定委员会办公室盖章(有效)
3、 注：限制 2 年(可少于 2 年); 秘密 10 年(可少于 10 年); 机密 20 年(可少于20 年) 南开大学学位论文使用授权书南开大学学位论文使用授权书 本人完全了解南开大学关于研究生学位论文收藏和利用管理办法关于南开大学(简 称“学校”)研究生学位论文收藏和利用的管理规定，同意向南开大学提交本人的学位论文 电子版及相应的纸质本，并委托印刷存档论文。 本人了解南开大学拥有在中华人民共和国著作权法规定范围内的学位论文使用权， 同意在以下几方面向学校授权。即： 1.学校将学位论文编入南开大学博硕士学位论文全文数据库 ，并作为资料在学校图 书馆等场所提供阅览，在校园网上提供论文目录检索、
4、文摘以及论文全文浏览、下载等信 息服务； 2.学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存学位论文；学校根据规定向教育部指 定的收藏和存档单位提交学位论文； 3.非公开学位论文在解密后的使用权同公开论文。 4.同意学校将本人向有关电子出版单位授权的学位论文(含电子版和授权书)转交相关授 权单位。 本人承诺：本人的学位论文是在南开大学学习期间创作完成的作品，并已通过论文答 辩；提交的学位论文电子版与纸质本论文的内容一致，如因不同造成不良后果由本人自负。 本人签署本授权书一份，交图书馆留存。 学位论文作者暨授权人(亲笔)签字： 20年月日 南开大学研究生学位论文作者信息 论 文 题 目基于带跳跃因子的
5、 Vasicek模型的实证分析 姓名杨汝佳学号2120120057答辩日期 论 文 类 别博士学历硕士 硕士专业学位同等学力硕士划 选择 学院(单位)数学科学学院学科/专业(专业学位)名称应用数学 联 系 电 话15620233027电子邮箱 通讯地址(邮编)：天津市卫津路94号南开大学西区公寓 4-1-203 （300071） 非公开论文编号备注 注：本授权书适用我校授予的所有博士、硕士的学位论文。由作者填写一份并签字后交校图书馆，如已批准为非公开学 位论文，须附批准通过的南开大学研究生申请非公开学位论文审批表和“非公开学位论文标注说明”页。 摘要 摘要摘要 利率期限结构是指在相同的风险水平
6、下，不同质债券的到期收益率与到期 期限之间的关系。瞬时利率期限结构模型的建立，是为利率衍生品合理定价和 利率风险对冲的基础，同时也是利率期限结构研究的核心问题。伴随着我国证 券市场的完善和金融创新的不断进步以及逐步推进利率市场化进程，利率期限 结构得的研究显得尤为重要。 以前的参考文献，对传统的 Vasicek模型和 CIR模型都做了很多的研究和分 析，但是对于带跳跃因子的 Vasicek模型和 CIR模型还未做到足够研究。由于利 率市场本身的复杂性，基于传统的 Vasicek模型和 CIR模型并不准确的模拟出货 币政策变化、金融危机对利率市场的冲击。而在模型中加入跳跃因子，则可以 较好的模拟
7、出在现实的利率市场中，利率的动态过程。本文主要以带跳跃因子 的 Vasicek模型为基础研究利率的期限结构。在数据选取方面，采用 SHIBOR网 址上提过的2006年10月到2015年2月的隔夜拆借利率、一周拆借利率和一月拆借 利率，用以代替短期瞬时利率。通过对参数的估计，确定最终的模型。并运用 蒙特卡洛方法对该模型的性质和实用性进行分析。 本文将分为四部分展开。第一部分主要是利率的基础知识介绍，从而对利 率期限结构有良好的认识基础。第二部分主要讲述利率期限结构的发展与研究。 其中包括利率期限结构理论的发展历史以及对有代表性模型的详细介绍。主要 包括一般均衡模型和无套利模型。第三部分要完成的任
8、务是在传统的 Vasicek模 型和 CIR模型的基础上加入跳跃因子，以此来拟合实际的利率运动过程。由于 传统的模型大部分以伊藤过程来描述利率的变化，所以会出现价格变化的连续 性，而实际的利率行为会出现跳跃性，故加入跳跃因子是可靠的改进方法。在 这一部分，不仅给出了具体的模型，同时也给出了模型中参数估计的方法。第 四部分通过在 SHIBOR官网上得到的数据（2006年10月至2015年2月隔夜拆借利 率，周拆借利率和一月拆借利率） ，主要对 Vasicek模型模型中的参数进行估值， 并确定各参数的估计值。第五部分运用蒙特卡罗方法模拟利率运动过程，将 Vasicek模型模拟出的数据和真实数据进行
9、比较，并得出结论。 关键词：关键词： Vasicek模型；均值回复；最大似然估计；蒙特卡罗模拟 I Abstract Abstract The term structure of interest rate is the relationship between different bonds yield to maturity and the maturity of the term at the same level of risk,. The establishmen- t of the transient model of interest rate term structure, i
10、s the basis for the interest rate derivativespricingandhedgingofinterestraterisk, anditisalsothecoreproblemofthe research on term structure of interest rates. Along with the continuous progress of im- provement of Chinas securities market and the fi nancial innovation and the promotion of interest r
11、ate liberalization, the research on interest rate term structure is particularly important. Previous references, have done many research and analysis of Vasicek model and CIR model, but the Vasicek model and CIR model with jump factor is not enough re- searched. Because of the complexity of the inte
12、rest rate market itself, the simulation of traditional Vasicek model and CIR model for monetary policy change and the fi nancial crisis on the impact of interest rate market, is not accurate. The models with the jump factor can simulate the dynamic process of interest rate in the real interest rate
13、in the market. This article mainly take the CIR model with jump factor based on the term structure of interest rates. In the data part, the SHIBOR website provides overnight interest , one week and one month interbank rates and lending rates in 2006 October to 2015 February, instead of short-term in
14、terest rate. Through the estimation of the parameters, we can determine the fi nal model and then use the Monte Carlo method to analyze the properties of the model and practicality. This paper will be divided into four parts. The fi rst part is the introduction of basic knowledge of interest rate, w
15、hich is useful for the understanding of the term structure of interest rates. The second part is mainly about the development and research of the term structure of interest rates, including the history of the development of theory of term structure of interest rates and the models. It mainly include
16、s general equilibrium models and no-arbitrage models. The third part of the task is to introduce the Vasicek model and CIR model with jump factor to simulate the interest rate movement. In this II Abstract part, not only a specifi c model is given, but also the method to estimate the parameters in t
17、he model is also given. The fourth part is through the data on the SHIBOR website (2006 October to 2015 February, the overnight, one week and one month interbank offered rate ), to get main valuation on the parameters of CIR model in the model, and to determine the value of each parameter estimation
18、. The fi fth part uses the Monte Carlo method to simulate the movement process of the interest rate and compare CIR model with jump factor with the data from real world Key Words: Vasicek model; mean-reversion; MLE; Monte Carlo simulation III 目录 目录目录 第一章绪论 1 第一节引言 1 第二节本文的主要工作 2 第二章利率期限结构相关概念及相关理论介绍
19、 4 第一节利率 4 第二节利率曲线结构的形态 6 第三节利率期限结构理论与模型 7 第三章带跳跃因子 Vasicek模型和 CIR模型及参数估计方法 13 第一节带跳跃因子 Vasicek模型和 CIR模型 13 第二节模型中各参数的估计 14 第四章模型参数的估计分析 17 第一节样本数据的选择和处理 17 第二节模型的参数估计和研究 21 第五章蒙特卡罗模拟及检验 25 第一节蒙特卡罗模拟 25 第二节蒙特卡罗模拟过程及分析 27 第三节实证分析（蒙特卡罗方法） 28 第四节结论 29 参考文献 31 致谢 32 个人简历 33 IV 第一章 绪论 第一章第一章绪论绪论 第一节第一节引言
20、引言 利率模型是在传统经济学中利率衍生品及其他证券产品定价的理论基础， 建立一个可以很好地拟合利率运动过程与特征的利率模型对证券市场和利率 衍生品市场的完善和发展至关重要。Merton率先提出一个单因子的 Vasicek模 型来描述利率的动态过程（见文献1） 。CIR模型（见文献2）则在此基础上 进行了推广，也就是一般均衡模型。然而一般均衡模型在模拟利率的运动过程 中会出现和实际数据有一定的偏差，从而使得相对应的出现了利率期限结构 的另一分支：无套利条件模型。 Hull-White模型（见文献3） 、Ho-Lee模型和 Heath-Jarrow-Merton模型皆为无套利模型的代表。然而以上模
21、型也存在一定的 问题。由于上述模型均用伊藤过程（见文献8）来描述瞬时利率变化的不确定 因素，而该过程反应到价格上，会使得价格出现连续性。但是在实际的利率市 场中，价格不可能以一直一种连续的状态呈现。受到货币政策或者国际环境的 影响，利率动态过程会有跳跃部分的存在，可见如果只用伊藤过程来表述价格 过程是不太全面的。在现实世界中，利率市场的跳跃行为是普遍存在的，多数 是由于相关的货币政策的实施等市场特征引起的。为了在模型中充分反映诸如 此类事件的影响，Das通过研究发现，利率的运动过程可以分为两部分的叠加， 分别是纯的随机跳跃和布朗运动，并且假设跳跃部分和连续部分两者是相互独 立的，即跳跃-扩散过
22、程对利率运动的过程可以做出更好的解释。 利率动态特征在预测利率和相关衍生品的定价问题上的意义是显而易见的， 对于利率模型的参数估计也有很多不同的方法，其中最具代表性的是极大似然 法（MLE） （见文献4）和广义矩估计法（GMM） 。其中相关的文献已经证明， 对于利率模型中复杂的参数估计，MLE的方法要比 GMM方法在精确性上有优 势，故本文将采用的参数进行估计的方法是 MLE。 本文将依据带跳跃因子的 Vasicek模型，采取 MLE方法对上海银行间拆借 利率 SHIBOR进行分析，并用蒙特卡罗方法进行分析模拟。并与未加入跳跃因 子的 Vasicek模型进行比较。 1 第一章 绪论 第二节第二
23、节本文的主要工作本文的主要工作 本文将沿着利率期限结构这一主线展开，即从传统的利率期限结构理论到 现代利率期限结构模型。在模型的研究过程中，遵循层层递进的研究思路，从 基础的 Vasicek 利率期限结构模型，进一步考虑到波动的时变性影响进而又研究 波动的非对称性，总体上内容安排如下：第一章导论。本章首先阐述了本文 的选题背景及意义，包括理论意义和现实意义；接着承接国内外研究现状，总 的概括本文的研究思路及结构。 第二章利率期限结构相关概念介绍。本章介绍了与利率期限结构相关的 基本概念以便于对后文的理解，主要针对利率的几种不同的表达形式，如到期 收益率、即期利率、远期利率、单利、复利和连续复利
24、等；进一步介绍了收益 曲线的四种不同的形态及意义。在此之后，解释了利率期限结构理论及模型。 主要从理论上阐述了利率期限结构的理论和动态模型，首先介绍了传统的利率 期限结构理论，包括预期理论、市场分割理论、和偏好假说；再次从均衡模型 和无套利机会模型两个方面介绍了基本的期限结构动态模型。 第三章主要介绍带跳跃因子的 Vasicek模型和 CIR模型。比较的说明了引 入跳跃因子的原因及加入跳跃因子对动态模型带来的改变。并且引出加入新的 跳跃因子的 Vasicek模型。在此之后，给出对新的利率期限结构动态模型中的个 参数的估计方法及采取该方法的原因。 第四章主要工作是针对选定数据对参数进行模型。其中
25、包括数据的来 源及选取该组数据的原因。本文选取的是 SHIBOR官网提供的2006年10月8日 到2015年2月28日的隔夜拆借利率、周拆借利率和月拆借利率，其次对所选取的 数据进行处理。再次依照上一章介绍的方法对新模型中的参数进行模拟估计。 第五章运用蒙特卡罗方法对模型进行检验。该章介绍了蒙特卡罗方法的 基本知识，并采取特定的方法对模型模拟出的结果进行检验。并得出结论： (1)在上海银行间拆借利率市场中，利率的变化具有明显的跳跃性，随着利 率市场化的推进，利率跳跃效应将会越来越明显。 (2)在构建瞬时利率动态模型 时，加入跳跃因子的单因子扩散模型可大大提高利率模型的拟合能力。且通过 实证分析
26、发现，没有加入跳跃因子的模型，在拟合能力和均值回复现象上，与 引入跳跃因子的模型存在着明显的误差。同时，加入跳跃因子的模型在样本的 选择区间内很好的拟合实际中利率的跳跃。 (3)本文再次验证了加入带跳跃因子 的 Vasicek模型在利率期限结构的应用上有很强的实用性。该模性可以广泛地应 2 第一章 绪论 用到利率衍生品及债券产品的定价当中。 3 第二章 利率期限结构相关概念及相关理论介绍 第二章第二章利率期限结构相关概念及相关理论介绍利率期限结构相关概念及相关理论介绍 第一节第一节利率利率 利率（见文献9）或利息率，可以理解为货币的时间价值的回报。利率一 般具有三个特征：非负性。亦即利率不能为
27、负值，若利率为负，则存在套利空 间；均值回复性。在足够长的时间里，利率将向某个长期均值水平收敛；水平 效应性。一般情况下，利率的波动率会随着利率水平的提高而增加。利率是货 币政策中的重要手段。特别是在金融工程领域，利率在金融衍生品的定价中被 广泛地应用。因为在风险中性定价原理中，标的资产的收益率的漂移率必须根 据无风险利率进行计算，所以，对利率的分析和估计是金融工程领域一个十分 基本的问题。作为资产的价格，利率在市场中的作用日益凸显。这不仅表现在 利率水平反映了金融市场的变化及整个经济的基本状况，而且，利率已成为中 央银行对市场进行宏观间接调控的最有效的手段。 2.1.1到期收益率、即期与远期
28、利率 1. 到期收益率到期收益是持有债券到偿还期获得的包括利息的全部收 益。到期收益率，是指投资者买入债券获得预期现金流的折现等于当前债券市 场价值的折现率。到期收益率的计算公式如下： PB= n i=1 Ci (1+YTM)i + F (1+YTM)n .(2.1) 式（2.1）中：PB为债券的买入价格，Ci为第 i期的现金流入（票面利息） ， F 为债券的面值，n 是付息次数。 2. 即期利率在利率期限结构理论研究中，即期利率占据最主要的地位。 即期利率是从当前时点开始计算的未来一定期限的利率水平，是单个现金流的 收益率，准确反映了现金流所对应 d利率水平。这里考虑的投资是中间没有支 付“
29、纯粹”投资，即所有的本金和利息在到期时（n 年末）一次性支付给投资 者，一般也称为 n 年期零息票利率。其计算公式为： Pt= Mt (1+St)t .(2.2) 4 第二章 利率期限结构相关概念及相关理论介绍 Mt和 St分别是到期价值和 t 年期到期利率。 3. 远期利率在实务中，远期利率也有着重要的运用。远期利率是可以由 即期利率求得，是指从未来的某一时刻到另一时刻的利率。远期利率由即期利 率决定，计算公式为 f(t1,t2) = f(t0,t2) f(t0,1) .(2.3) 式（2.2）中，f(t1,t2) 是从未来时刻 t1到 t2的远期利率， f(t0,t2) 是在 t0时刻确
30、定的 t2时刻到期的即期利率， f(t0,t1) 是在 t0时刻确定的 t1时刻到期的即期利 率。 远期利率的应用非常广泛，可以反映出市场对未来利率走势的预期，是中 央银行制定和执行货币政策的参考工具，也是利率衍生品定价的基础。 2.1.2单利、复利和连续复利 按照计算利息的习惯不同，利率可分为单利、复利和连续复利。 1. 单利单利的计算公式为： r = I nP0 .(2.4) 式中，设 P0为投入的本金，I 为到期利息，n 为年期限数，r 为年利率。 2. 复利在现实世界中，利息也可以用来再投资从而产生收益，而单利忽 略这一点，依次修正单利，则得到年付一次的复利公式为： I = P0(1+
31、r)n1.(2.5) 多次付息的复利公式可以在忽略掉付息频率的假设得到： I = P0(1+ r m) mn1. (2.6) 上式中，m表示在一年中付息的次数。 3. 连续复利由于 limm(1+ r m) mn = em，当 m 时，就可以得到连续 复利的公式为： I = P0(em1). 2.1.3零息票债券 所谓零息票债券，是指在到期前完全不需支付利息，只在到期时才偿还面 额的债券。虽然不支付利息，但因为零息债券是以低于票面价值的折价发行， 5 第二章 利率期限结构相关概念及相关理论介绍 面额与发行价格间的价差，就是投资者的报酬，也因为这种折价发行的特性， 零息票债券又被称为纯粹折价债券
32、。发行者发行零息票债券的好处，是在债券 到期日之间皆不需支付利息，减轻到期前付息的财务压力；对投资者来说，将 面额减去购买价格即可获得收益，因此投资报酬率可以事先确定，完全没有利 息的再投资风险。 利率期限结构是指相同的风险水平下，利率与到期期限之间的数量关系， 或者说是理论上的零息票债券收益率曲线。 第二节第二节利率曲线结构的形态利率曲线结构的形态 证券市场最重要的问题是收益-风险的关系，而债券的收益-风险关系就体 现在描述到期收益率（收益）-到期期限（风险）的收益率曲线上，该曲线所表 示的关系就称作利率的期限结构。利率期限结构描述了不同期限零息票债券的 收益率与到期期限之间的关系。一般而言
33、，收益率曲线有以下四种不同形态。 其中，横轴表示到期期限，纵轴表示道歉收益率。 图2-1是水平收益率曲线：它是一条基本上平直的曲线，意味着到期收益率 与到期期限是零相关关系，即无论时间怎么变化，收益率都不发生变动。 图2-1是正向收益率曲线：它是一条向上倾斜的曲线，到期收益率与到期期 限是正相关关系，表示的期限结构特征是短期国债收益率较低，而长期国债收 益率较高。 图2-3是反向收益率曲线：它是一条向下倾斜的曲线，到期收益率与到期期 6 第二章 利率期限结构相关概念及相关理论介绍 限是负相关关系，表示的期限结构特征是短期国债收益率较高，而长期国债收 益率较低。 图2-4是拱形收益率曲线：它是一
34、条先上升后下降的曲线，到期收益率与到 期期限相关，但变化是不规则的，开始是债券的期限越长期收益率越高，而后 却是期限越短其收益率越高了，即当期限延长时，收益率时而上升时而下降。 在现实生活中，图2-4是最常见的状况，收益里的高低随着债券供求的变化 而变化，不同期限债券品种的供求状况决定了收益率曲线的形状。由于不同债 券的供求状况在各种市场因素的作用下变化并无确定的规律，利率期限结构的 形状也呈不规则型。 第三节第三节利率期限结构理论与模型利率期限结构理论与模型 2.3.1传统的利率期限结构理论 1.预期假说 预期假说：欧文费歇尔于1896年提出了利率期限结构的预期假说（见文 献11） 。到期收
35、益在预期理论中可表示为： R(t,T) = 1 T t Z T t Et(r(s)ds+ Z T t (s,T)ds.(2.7) 其中 Et(r(s) 是预期未来 t时刻的即期利率。 在预期理论，短期债券的预期利率可以作为长期债券现期利率的函数，而 短期中的现期利率与未来预期利率的关系决定了短期利率和长期利率的关系。 预期理论可以解释事实:1.随着时间的推移，不同到期期限的债券利率有同 向运动的趋势。从历史上看，短期利率具有如果它在今天上升，则未来将趋于 更高的特征；2.如果短期利率较低，收益率曲线倾向与向上倾斜，如果短期利 率较高，收益率曲线通常是翻转的。 这一假说最主要的问题是条件过于苛刻
36、：假定人们可以准确的预期到未来 短期债券的利率；其次是假定资金在长短期资金市场可以完全自由的流动。过 于理想化的假定使得该假说距离金融市场的实际很远。 2.分割理论 市场分割理论坚信，债券市场可以依据期限的不同划分为若干个互不相关 的市场，独立的市场均衡存在于每个市场中。长期贷款利率是由长期借贷活动 所决定的，短期利率是由短期交易所决定的。所以，依据期限划分的不同市场 7 第二章 利率期限结构相关概念及相关理论介绍 的均衡利率构成了利率期限结构。该理论最大的缺点在于，期限不同的债券市 场的不相关性，无法解释不同期限利率的同步波动，而对于短期债券市场利率 影响长期债券市场利率波动表现出的变化的规
37、律性，也没有很好的解释。 3.偏好假说 流动性偏好假说：不同期限债券的风险指数和期限结构的关系由凯恩斯率 先提出，而希克斯则是在此基础上对流动性偏好理论进行完善。 根据流动性偏好理论，替代性存在于不同期限的债券之间，这表明着一种 债券的收益确实受到某种期限债券预期收益的影响。但是完全可替代的是不现 实的，不同期限的债券吸引着拥有不同偏好的投资者。范霍恩(Van Home)认为， 远期利率在预期信息之外，可能还要加上风险要素，以实现对流动性的补偿。 扣除短期债券补偿是由很多因素决定的，包括：可获得不同期限债券的难易程 度及投资者偏好流动性的程度。在定价债券时，价格的偏差受到流动性偏好的 影响。
38、这一理论假定，短期债券是大多数投资者的偏好。期限较长的债券为了吸 引投资者，投资者将会被给予随着时间的增长而增加的流动性补偿，这也是观 察到的实际收益率曲线要高于预期假说所预计的原因。这一理论还假定这是一 个风险厌恶的世界，投资者进行投资必须要获得补偿，虽然他们预期短期利率 会保持不变，故向上倾斜是该收益曲线的特征。 从三大理论中可以看出，预期未来利率的变化方向决定了利率期限结构。 2.3.2利率期限结构动态模型 传统的利率期限结构理论只解释了长短期利率差异的原因，不能准确地 说明利率的动态变化。现代的期限结构理论把利率的运动假设为随机变动过 程，着重研究利率的动态过程。根据模型的推导过程，利
39、率期限结构模型可以 分为两种类型：第一种类型就是均衡模型，根据市场的均衡条件求出利率所必 须遵循的一个过程。在这些模型中，相关的经济变量是输入变量，利率水平是 输出变量。这类模型主要有 Vasicek模型、CIR模型等。另一种类型是无套利模 型，通过相关债券等资产之间必须满足的无套利条件进行分析，此时利率水平 是一个输入变量，相关金融工具的价格是输出变量。这类模型主要有 Hull and White模型、HJM模型等。必须强调的是这些模型都是建立在风险中性世界中， 所描述的均是风险中性世界中的利率变动行为。 均衡模型与无套利机会模型在理论上相比具有明显的优点：均衡模型中， 8 第二章 利率期限
40、结构相关概念及相关理论介绍 利率期限结构及其动态方程都是内生地决定的，且风险因子溢价的函数形式也 是在经济达到均衡时推导出的：而在无套利机会模型中，风险的市场价格的函 数形式需要外生设定，而且有些形式的函数可能会导致模型内部出现不一致的 情况，即出现套利机会。 利率期限结构的动态模型以 Merton在1973年提出最简单的单因素模型为起 点。单因素均衡模型中，短期利率只包括一个不确定性来源即时间 t。单因子模 型包含的这个状态变量，即是无违约风险的瞬时利率，瞬时利率的运动变化决 定了整个期限结构的运动变化。 均衡模型 1. Vasicek模型Vasicek模型是由瓦西塞克于1977年提出的单因
41、子期限结构 的均衡模型，假设在风险中性的世界中，利率变化过程遵循： drt= k(rrt)dt +tdt.(2.8) 上式中，k代表利率的均值回复速度，r 表示长期利率均值水平， t为利率 的瞬时波动率，k、r 和 t均被假设为常数， t是一个标准的维纳过程。根据 维纳过程的性质，可知 E(drt) = k(rrt)dt，Var(drt) = 2 t 。均值回复的特性： Vasicek模型中，k(rrt) 为瞬时漂移率，代表了利率变化的主要来源。而从 其表达式来看，它是推动利率过程向长期均值回复的动力。当利率处于较高的 值时，流动资金的需求量会下降，也就会导致利率的下降；当利率处于较低的 值时
42、，市场对流动现金的需要将上升，由于供需关系的变化，利率有上升的趋 势。因此，从长期来看，利率将会维持在某一水平上，这也就是利率的均值回 复。在此模型中，当 rt r 时，利率就有下降的趋势。 2. CIR模型CIR模型是 Cox，Ingersoll和 Ross等人在 Vasicek模型的基础上 对 Vasicek模型进行了优化。其中瞬时波动率修改为 rt，不再是常数。其微 分方程为： drt= k(rrt)dt +rtdt(2.9) 上式中，k代表利率的均值回复速度，r 表示长期利率均值水平， rt为 利率的瞬时波动率，k、r 和 t均被假设为常数， t是一个标准的维纳过程. CIR模型由于相
43、对较为复杂，在参数估计方面存在一定的困难。而它的优点 也是很明显的：它可以保证总体均衡同时又是在经济中产生的内在实际变量。 9 第二章 利率期限结构相关概念及相关理论介绍 3.双平方根模型CIR模型是一种单平方根模型，1989年 Longstaff对 CIR模型进行了修改，得到双平方根模型，而后1992年 Beaglehole与 Tenny对 Longstaff模型进一步修改得到了如下模型： drt= k( r r t)dt + rd t. (2.10) 式中，k 代表利率的均值回复速度， r 代表利率的长期均值，rt为利率 的瞬时波动率， k、 r 和 均被假设为常数，t是一个标准的维纳过程
44、。 4.Fong-Vasicek模型Fong-Vasicek于1991年将瓦西塞克模型扩展到两因素 情形，他们的重要改进就是在原来短期利率过程中增加了随机方差想 v(t)，其 模型满足如下随机微分方程： drt= a( rrt)dt + v tdt1dvt= b( vvt)dt + v tdt2 (2.11) 以上两式中， r、 v 分别是短期利率 rt和方差 vt的均值， a，b 和 都是正常数， t1、t2是两个相关的布朗运动。从 Fong-Vasicek模型可以看出，rt和 vt显然 都具有均值回复性，其回复速度分别为 a 和 b。 无套利机会模型 1. 胡（Ho）和李（Lee）模型第一
45、个无套利模型就是胡和李模型。利率 期限结构演变的推导是在假定利率期限结构已设定的情况下进行的。在无套利 的情况下，加入某些约束条件，演变出符合某种均衡框架的期限结构。有如下 随机方程： drt= (t)dt +dt.(2.12) 胡和李模型的优势在于它是马尔科夫性的可解析处理的模型，同时兼具易 用性和对当前的利率期限结构精确模拟。模型的不足是：1 选择标准差的灵活 性不足，无论是即期利率还是远期利率瞬态标准差 都相同;2 均值回复性的缺 失。 2. Black-Karasinski模型Black-Karasinski模型处理均值回复非常明确，它 假设一个有中央倾向短期利率并给出了这个倾向的速度
46、。这个模型建立的角度 可以有很多种。可以通过给定区域性波动率参数值，为了协调利率期限结构与 波动率的期限结构而调整其他参数；原作者所提倡的方法是，用市场中的一组 数值套入模型，其中实用的是差价上限选择权曲线。套入选择权的价格到模型 中，可以直接反推出模型的参数值。 10 第二章 利率期限结构相关概念及相关理论介绍 模型的结构： d(lnr) = (t)ln(t)lnrdt +(t)d.(2.13) 其中：(t) 是目标利率，(t) 表示均值回复，(t) 表示区域波动率，即 lnr 的 波动率. Black-Karasinski模型的优势: 1 均值回复的行为可以独立设定； 2 它服从于 对数正
47、态分布的模型，利率水平不会出现负值，利率的水平与利率的波动率是 成比例的。缺点是波动率结构将影响均值回复的行为。 3. Hull和 White模型Hull和 White在1990年、1993年的论文中扩展了 Va- sicek和 CIR模型，加入了依赖时间 t的参数 (t) 到短期利率模型中。他们认为时 间因素是值得考虑的，由于经济现象或者货币政策的变迁都与时间有关。他们 建议的 Vasicek模型扩展形式是： dr = (t)+a(t)(br)dt +(t)d.(2.14) 很显然，当 a = 0，为常数时，该模型就是胡和李模型。 同理，他们建议的 CIR模型的扩展形式是： dr = (t)
48、+a(t)(br)dt +(t)rdz(2.15) Hull和 White模型的贡献主要是对 Vasicek和 CIR模型进行了扩展，考虑了时间 因素对利率的影响。 4. HJM模型（Heath，Jarrow and Moaon）Heath，Jarrow和 Morton等人从 瞬态远期利率的标准差之间和漂移率之间存在着的关系入手，建立的期限结构 模型是针对远期利率的。模型结构： d f(t,T) = (t,T,t)dt +(t,T, f(t,T)d.(2.16) 其中 f(t,T) 表示在 t时刻预期到的 T时刻合约到期时的瞬态远期利率，t表示 利率过去、当前和 t时刻债券价格的矢量，() 表示远期利率瞬时均值和 () 表示瞬时标准差。 Heath，Jarrow和 Morton导出了瞬态远期利率的漂移率与波动率之间的关系 （在无套利定价原理下） ，即： (t,T,t) = (t,T, f(t,T) Z T t (t,u, f(t,u)du.(2.17) 11 第二章 利率期限结构相关概念及相关理论介绍 这样，远期利率的漂移率的求法要相对简单，只要对瞬态远期利率的波动率进 行估计就可以求得, 或者说，可以在不估计漂移率的情况下，得到债券的价格。 HJM模型的优势主要有：1 它是以符合当前期限结构的无套利模型；
